data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Applicazioni Lineari - Sommario
tipologia: appunti
stato: "1"A. LE PRIME DEFINIZIONI
Tutto sulle applicazioni lineari (penultimo argomento)
data: 2023-11-24
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione base di applicazione lineare. Esempi.
OSS 0.a. (Aree di indagine della matematica) La matematica è una materia che studia principalmente due temi: da un lato lo studio di certi determinate entità matematiche, come le matrici, i vettori, i sistemi lineari e i spazi vettoriali.
Dall'altro lato, la matematica si occupa anche di collegare questi oggetti studiati mediante le funzioni (FunzioniFunzioni); tra poco studieremo delle funzioni che in oggetto prendono dei spazi vettoriali (Spazi VettorialiSpazi Vettoriali), evidenziando la loro complessità e ricchezza, dovute al fatto che i spazi vettoriali sono sostanzialmente degli insiemi con più restrizioni.
Siano
Chiamo una funzione (Funzioni > ^e8c03bDefinizione 2 (dominio, codominio e legge)) del tipo
A1. (Additività) "L'immagine della somma è la somma delle immagini"
#Osservazione
OSS 1.1. (Operazioni stesse ma diverse) Notiamo che nelle proprietà A1. e A2. (additività e omogeneità) abbiamo l'associazione tra due operazioni diverse; a sinistra abbiamo la somma (scalamento) definita in
Sia
In un colpo solo la verifichiamo scrivendo
data: 2023-11-24
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Applicazioni Lineari Notevoli
tipologia: appunti
stato: "1"Prime applicazioni lineari che verranno date per noti: trasformazione lineare associata ad una matrice, funzione coordinante.
Sia
Allora la matrice
Per ogni matrice
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1.
Siano
Sia
Calcoliamo ad esempio
GRAFICO 1.1. (Situazione grafica)
Sia
Sia
Allora definiamo la funzione che prende le coordinate di un vettore rispetto a
Infatti questa definizione è ben posta in quanto
La funzione
Allora si dice che
Provare che se
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE dell'esercizio 3.1.
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Nucleo e immagine
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.
Sia
Definiamo il nucleo di
Quindi è immediato verificare che
Sia
Si definisce invece l'immagine di
Ovvero "gli elementi del codominio che sono associati ad almeno un elemento del dominio".
Allora è immediato verificare che
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Proposizioni su Nucleo e Immagine
tipologia: appunti
stato: "1"Prime proprietà del nucleo e dell'immagine (Definizione di Nucleo e immagineDefinizione di Nucleo e immagine) di un'applicazione lineare: ker, im sottospazi vettoriali di V e V'; f iniettiva allora ker è il più piccolo possibile, f suriettiva allora im è il codominio.
Sia
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 1.1. (^d0ed96Proposizione 1 (nucleo e immagine sono sottospazi vettoriali))
Prima dimostro che
Sia
Allora valgono che
i.
ii.
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 2.1. (^1a8f27Proposizione 2 (Proposizione 2.1.))
Dimostriamo la i. della proposizione.
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema di struttura per Applicazioni Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Enunciato, dimostrazione ed esempio del teorema di struttura per le applicazioni lineari.
Ora vediamo come un'applicazione lineare è completamente determinata da dove "finiscono" le basi.
Siano
ATTENZIONE! Ciò non deve necessariamente significare che le loro dimensioni devono coincidere.
Allora prendendo
Allora esiste ed è unica un'applicazione lineare (Definizione di Applicazione Lineare > ^9b39f9Definizione 1 (applicazione lineare da V a V primo))
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1. (^2f37c1Teorema 1 (di struttura per le applicazioni lineari))
Per questa dimostrazione usiamo una tecnica particolare: questa consiste prima nel supporre l'esistenza di tale funzione, di dimostrarne l'unicità, ottenendo alla fine così degli "indizi" per costruire la funzione supposta.
Sia
Pertanto sappiamo che se questa
Ora "troviamo" l'applicazione lineare
OSS 3.1. (Le immagini di un sistema di generatore sono un sistema di generatori per l'immagine di
Sia
Infatti se
Quindi, dato che
Sia
Sia
Sia inoltre
Allora
Considero in
Per farlo scrivo questo generico vettore esprimendolo in termini di
Osserviamo che invece non può esistere un'applicazione lineare tale che
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Rango per Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di rango per un'applicazione lineare.
OSS 0.a. (Osservazione sulla trasformazione lineare
Sia
Allora definiamo il rango di
OSS 1.1. Data l'osservazione precedente, il rango di un'applicazione lineare è una generalizzazione del rango di una matrice.
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teorema di dimensione per le Applicazioni Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Teorema di dimensione per le applicazioni lineari: enunciato, dimostrazione ed esempi.
Sia
Allora vale che
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema di dimensione per le applicazioni lineari (^ccde56Teorema 1 (di dimensione per le applicazioni lineari))
Fissiamo la dimensione di
Fissiamo ora una base di
Allora
Supponiamo
Allora sicuramente sappiamo che
data: 2023-11-25
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Conseguenze del teorema di dimensione delle Applicazioni Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Conseguenze (in formi di corollari) del teorema di dimensione (Teorema di dimensione per le Applicazioni LineariTeorema di dimensione per le Applicazioni Lineari)
OSS 1.1. (Il vuoto colmato) Ora possiamo finalmente "colmare" un vuoto che avevamo lasciato nel capitolo sui sistemi lineari, in particolare sul teorema di dimensione delle soluzioni per i sistemi lineari omogenei. (Teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineariTeorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari).
RICHIAMO al teorema di dimensione delle soluzioni di sistemi lineari
Sia
sia
Sia dunque
Ovvero
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 1.1. (^f7c31cCorollario 1 (Corollario 1.1. (teorema di dimensione delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo)))
Visto che
Sia
Supponiamo che essi hanno la stessa dimensione;
Allora
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.1. (^c9a905Corollario 2 (di caratterizzazione per applicazioni lineari iniettive e suriettive))
"
Allora, per il teorema di dimensione (Teorema di dimensione per le Applicazioni Lineari > ^ccde56Teorema 1 (di dimensione per le applicazioni lineari)) si ha
"
Sia
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del corollario 2.2. (^a78df6Corollario 3 (invertibilità di un'applicazione lineare iniettiva o suriettiva))
Dimostrazione omessa in quanto basta conoscere il teorema di invertibilità di una funzione (Funzioni > ^7b369fTeorema 24 (condizione necessaria e sufficiente per l'esistenza della funzione inversa
data: 2023-11-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
tipologia: appunti
argomento: Definizione della Matrice associata a un'Applicazione Lineare
stato: "1"Definizione della matrice associata ad un'applicazione lineare rispetto alle basi del dominio e del codominio, esempi.
Sia
Siano
Per ogni vettore
In altre parole,
Considero la trasformazione lineare
Allora vogliamo costruire la matrice associata all'applicazione lineare
Si lascia di svolgere il procedimento meccanico al lettore per esercizio.
Considero
Consideriamo
Per l'osservazione precedente si nota che
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Prime Proprietà sulle Matrici associate a un'Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Prime proprietà sulle matrici associate ad un'applicazione lineare.
Siano
Supponiamo inoltre che ci sia anche
Sia
Allora valgono le seguenti sei proprietà:
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE delle prime proprietà sulle matrici associate (^0af01dProposizione 1 (prime proprietà sulle matrici associate))
Dimostrazioni omesse in quanto per verificarle basta usare definizioni delle applicazioni lineari, matrici associate ed eventualmente usare delle loro proprietà. Alternativamente, si può avvalere dei diagrammi commutativi.
data: 2023-11-26
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Teoremi sulle Matrici associate a un'Applicazione Lineare
tipologia: appunti
stato: "1"Due risultati importanti derivanti dalla definizione della matrice associata ad un'applicazione lineare.
Sia
Siano
Fissiamo
Supponiamo che ci sia il vettore-colonna
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 1.1.
La dimostrazione è omessa in quanto è "semplice" visto che basta scrivere le definizioni e compiere dei calcoli. Quindi la dimostrazione è lasciata da svolgere al lettore.
Consiglio: definire
Come "interpretazione grafica" di questo teorema possiamo avvalerci dell'esempio 2.2. sui diagrammi commutativi (Diagramma Commutativo > ^d97de6Esempio 4 (interpretazione grafica di un teorema)).
Siano
Siano
Allora possiamo considerare la composizione
TRUCCHETTO MNEMONICO. Come trucchetto mnemonico si potrebbe visualizzare che le lettere
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE del teorema 2.1.
Anche qui la dimostrazione è stata omessa in quanto bisogna solo usare le definizioni.
Sia
Allora
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Definizione di Matrice Simile
tipologia: appunti
stato: "1"Definizione di due matrici simili.
Siano
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: Matrice del cambiamento di Base
tipologia: appunti
stato: "1"Matrice del cambiamento di Base: osservazioni preliminari, l'utilità e riassunto (definizione generale)
Facciamo delle considerazioni sulle Prime Proprietà sulle Matrici associate a un'Applicazione LinearePrime Proprietà sulle Matrici associate a un'Applicazione Lineare e sui Teoremi sulle Matrici associate a un'Applicazione LineareTeoremi sulle Matrici associate a un'Applicazione Lineare.
Consideriamo
Allora
Ricordiamo inoltre il teorema 1.1. sulle matrici associate (Teoremi sulle Matrici associate a un'Applicazione Lineare > ^ebd9e5Teorema 1 (relazione tra le coordinate rispetto alle basi)): ovvero che prendendo un'altra base
Allora prendendo un qualunque vettore
Pertanto possiamo considerare la matrice
DETOUR. Ora è naturale chiedersi a cosa serva quest'osservazione: naturalmente, come ci suggerisce la denominazione, una matrice del cambiamento di base serve per cambiare la base di un spazio vettoriale e trovare le coordinate dell'immagine della "base cambiata" in funzione della "base cambiata" stessa.
Infatti, codifichiamo certi problemi con applicazioni lineari: dunque scegliendo una base qualsiasi per lo spazio vettoriale abbiamo coordinate diverse. Vogliamo svolgere certi calcoli con queste coordinate, però avvolte questi calcoli possono diventare complicati: dunque, avendo coordinate diverse (ovvero cambiando basi) possiamo "semplificare" il problema.
Questo sarà infatti il problema della diagonalizzazione (Considerazioni Preliminari sulla DiagonalizzazioneConsiderazioni Preliminari sulla Diagonalizzazione).
Allora da tutti questi risultati appena derivati, possiamo enunciare la seguente proposizione.
Sia
Siano
Siano poi
Allora abbiamo il seguente:
Graficamente abbiamo una specie di "semplificazione" delle basi:
In particolare se prendiamo
#Dimostrazione
DIMOSTRAZIONE della proposizione 3.1..
Omessa in quanto basta considerare che
Notiamo che la nozione di matrice simile discende proprio da queste considerazioni: infatti considerando
Infatti
data: 2023-12-02
corso: "[[Algebra Lineare ed Elementi di Geometria]]"
argomento: L'insieme delle Applicazioni Lineari
tipologia: appunti
stato: "1"Cenno all'insieme delle applicazioni lineari: definizione e teorema della funzione matrice associata ad un'applicazione lineare.
Siano
Allora definiamo l'insieme delle applicazioni lineari da
Abbiamo che definendo la somma tra applicazioni lineari in maniera "puntuale" e analogamente lo scalamento di un'applicazione lineare, ovvero